题目内容

已知数列{an}满足 a1=2，a2=8，an+2=4an+1-4an．
（1）证明{an+1-2an}是等比数列；
（2）证明{
an
2n
}是等差数列；
（3）设S=a1+a2+a3+…+a2010，求S的值．
（1）∵an+2=4an+1-4an∴an+2-2an+1=2（an+1-2an），
即
an+2-2an+1
an+1-2an
=2，又 a2-2a1=4
∴数列{an+1-2an}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，an+1-2an=4•2n-1=2n+1，∴
an+1
2n+1
-
an
2n
=1，又 
a1
2
=1，
∴数列{
an
2n
}是首项为1，公差为1的等差数列，即正整数列．
（3）∵
an
2n
=n，∴an=n•2n，又 S=a1+a2+a3+…+a2010，
∴S=2+2•22+3•23+…+2010•22010①2S=22+2•23+3•24+…+2010•22011②
①-②得-S=2+22+23+…+22010-2010•22011=22011-2-2010•22011
∴S=2009•21011+2．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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