Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=，B₁B=BC=4，M、N分别为BB₁，B₁C₁的中点，S为线段MN的中点．

(Ⅰ)求DS与平面ABCD所成角的正切值；

(Ⅱ)求直线DS与直线AC₁所成的角．

Answer 1

解：(Ⅰ)过S作SH⊥BC于H，连DH.

∵面BC₁⊥面ABCD,∴SH⊥面ABCD

∴∠SDH为SD和面ABCD所成的角. 

在正方形BB₁C₁C中，M、N分别为BB₁、B₁C₁中点，S为MN中点，B₁C₁=4,

∴SH=3=CH,

DH=,

在Rt△SHD中，tan∠SHD=. 

(Ⅱ)延长B₁C₁至E，使B₁C₁=C₁E=4,连DE、ES，

∵C₁EAD,∴四边形AC₁ES为平行四边形，∴AC₁∥DE,

∴∠EDS为异面直线DS与AC₁所成的角. 

在△DSE中，DS=则cos∠SDE=.

∴∠SDE=arccos.即直线DS与直线AC₁所成的角为arccos. 

方法二：

(Ⅰ)以D为原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,,0),B(4, ,0),

B₁(4, ,1),C₁(0, ,4),D₁(0,0,4),M(4, ,2),N(2, ,4),S(3, ,3) 

(1)=(3,,0),||=2,

∵DD₁⊥面ABCD，

∴为面ABCD一个法向量，=（0，0，4）.

cos(,)=,tan(,)=,

∴DS与面ABCD所成的角为-arctan.

正切值为：tan()=. 

(Ⅱ)∵=(-1,,4)

∴cos(,)=

直线DS与AC₁所成的角为arccos.