Question

如图，四边形ABCD是正方形，平面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，MA∥PB，PB=AB=2MA
（1）证明：DC⊥平面PBC
（2）AC∥平面PMD．

Answer 1

分析：（1）由面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，借助于面面垂直的性质定理可得PB垂直于底面ABCD，则PB垂直于DC，根据底面是正方形得到DC垂直于BC，由线面垂直的判定定理可得结论；
（2）由PB=2MA，可想到取PD和BD中点E，O，再借助于三角形的中位线性质可得四边形AOEM为平行四边形，即能证明
AC平行于平面PMD内的一条直线，从而证得结论．

解答：证明：（1）如图，
∵平面ABPM⊥平面ABCD，平面ABPM∩平面ABCD=AB，
又PB⊥AB，PB?平面ABPM，∴PB⊥平面ABCD．
又DC?平面ABCD，∴PB⊥DC，
又四边形ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
而PB∩BC=B，∴DC⊥平面PBC； 
（2）连结AC，BD交于点O，取PD的中点为E，连结OE，
在△PBD中，OE∥PB，OE=

1

2

PB，
又MA∥PB，AM=

1

2

PB，所以AOEM是平行四边形，
∴AO∥ME，AC?平面PMD，ME?平面PMD，∴AC∥平面PMD．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面平行的判定，考查了学生的空间想象和思维能力，解答的关键是寻求判定定理成立的条件，是中档题．