题目内容
设F为椭圆
+
=1的左焦点，A、B、C为该椭圆上三点，若
+
+
=
，则|
|+|
|+|
|的值为（ ）
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
| FA |
| FB |
| FC |
分析：算出椭圆的左焦点为F（-3，0），设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）．根据
+
+
=
，利用向量的坐标运算得到x1+x2+x3=-9．由椭圆的第二定义算出|
|=5+
x1、|
|=5+
x2且
=5+
x3，相加并代入前面证出的等式，即可算出|
|+|
|+|
|的值．
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
| FA |
| 3 |
| 5 |
| FB |
| 3 |
| 5 |
| FC |
| 3 |
| 5 |
| FA |
| FB |
| FC |
解答：解：∵椭圆
+
=1中，a=5，b=4，
∴c=
=3，得椭圆的左焦点为F（-3，0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
可得
=（x1+3，y1），
=（x2+3，y2），
=（x3+3，y3），
∵
+
+
=
∴（x1+3）+（x2+3）+（x3+3）=0，可得x1+x2+x3=-9．
椭圆的离心率e=
=
，由椭圆的第二定义，
得：|
|=a+ex1=5+
x1，同理得到|
|=5+
x2，
=5+
x3，
∴|
|+|
|+|
|=15+
（x1+x2+x3）=15+
×（-9）=
．
故选：B
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
∴c=
| a2-b2 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
可得
| FA |
| FB |
| FC |
∵
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
∴（x1+3）+（x2+3）+（x3+3）=0，可得x1+x2+x3=-9．
椭圆的离心率e=
| c |
| a |
| 3 |
| 5 |
得：|
| FA |
| 3 |
| 5 |
| FB |
| 3 |
| 5 |
| FC |
| 3 |
| 5 |
∴|
| FA |
| FB |
| FC |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 48 |
| 5 |
故选：B
点评：本题给出椭圆上三个点A、B、C，在三角形ABC的重心位于左焦点时，求三点到左焦点的距离之积．着重考查了向量的坐标运算、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．
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设A(x1，y1)，B(4，
)，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆
+
=1上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x1+x2=8”的（ ）
| 9 |
| 5 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| A、充要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分不必要条件 |
| D、既非充分也非必要 |