Question

已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy．由题意知点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），其轨迹方程为（y≠0）．
（Ⅱ）由题设条件知=±λ，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）设AB：my=x+2，代入得，（3m²-1）y²-12my+9=0．所以．由此入手能够求出直线l与直线MN夹角θ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系xOy． （1分）
∵PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=2
或PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=-2 （3分）
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），
其轨迹方程为（y≠0） （5分）
（Ⅱ）∵（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，
∴=±λ，（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）
设AB：my=x+2，代入得，3（my-2）²-y²-3=0，
即（3m²-1）y²-12my+9=0．
∴（7分）
①当=λ时，y₁=λy₂，∴（8分）得，，（9分）
∴∈[4，6]，即4≤≤6．
∴解得，m²≥3，故tan²θ≤（10分）
②当=-λ时y₁=-λy₂，∴（11分）得，，即．
∵λ∈[2-，2+]，∈[2，4]
∴∈[-2，0]，即-2≤≤0．
∴即，故tan²θ≥11． （13分）
由①、②得tan²θ≤或tan²θ≥11．
则夹角θ∈（0，]∪arctan，），（14分）
∵tanθ不存在时，直线l符合条件，故θ=时，符合题意．
∴θ∈（0，]∪[arctan，）． （15分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．