Question

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为

4

5

、

3

5

、

2

5

，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i-1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．

解答：解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A_i（i=1，2，3），
则P(A1)=

4

5

，P(A2)=

3

5

，P(A3)=

2

5

．
∴该选手被淘汰的概率P=P(

.

A1

+A1

.

A2

+A1A2

.

A3

)
=P(

.

A1

)+P(A1)P(

.

A2

)+P(A1)P(A2)P(

.

A3

)
=

1

5

+

4

5

×

2

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

=

101

125

．
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.P(ξ=1)=P(

.

A1

)=

1

5

，
P(ξ=2)=P(A1

.

A2

)=P(A1)P(

.

A2

)=

4

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=3）=P（A₁A₂）=P（A₁）P（A₂）=

4

5

×

3

5

=

12

25

．
∴ξ的分布列为

∴Eξ=1×

1

5

+2×

8

25

+3×

12

25

=

57

25

．

点评：本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．