Question

6．设数列{x_n}的各项都为正数且x₁=1．如图，△ABC所在平面上的点P_n （n∈N^*）均满足△P_nAB与△P_nAC的面积比为3：1，若$\overrightarrow{{P_n}A}=\frac{1}{3}{x_{n+1}}\overrightarrow{{P_n}B}-（2{x_n}+1）\overrightarrow{{P_n}C}$，则x₅的值为（　　）

• A． 31
• B． 33
• C． 61
• D． 63

Answer 1

分析 先得到$\overrightarrow{{P}_{n}A}+（2{x}_{n}+1）\overrightarrow{{P}_{n}C}$=$\frac{1}{3}{x}_{n+1}\overrightarrow{{P}_{n}B}$，作出平行四边形P_nAED，其中$\overrightarrow{{P}_{n}D}=（2{x}_{n}+1）\overrightarrow{{P}_{n}C}$，$\overrightarrow{{P}_{n}E}=\frac{1}{3}{x}_{n+1}\overrightarrow{{P}_{n}B}$，能够得到$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AE}}=\frac{1}{2{x}_{n}+1}$，$\frac{{S}_{△{P}_{n}AE}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}=\frac{1}{3}{x}_{n+1}$，从而便得到$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}=\frac{{x}_{n+1}}{3（2{x}_{n}+1）}=\frac{1}{3}$．这样即可得到x_n+1+1=2（x_n+1），从而数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求出x₅．

解答 解：由$\overrightarrow{{P}_{n}A}=\frac{1}{3}{x}_{n+1}\overrightarrow{{P}_{n}B}$$-（2{x}_{n}+1）\overrightarrow{{P}_{n}C}$得，$\overrightarrow{{P}_{n}A}+（2{x}_{n}+1）\overrightarrow{{P}_{n}C}$=$\frac{1}{3}{x}_{n+1}\overrightarrow{{P}_{n}B}$；
用图形表示上面等式如下：
其中$\overrightarrow{{P}_{n}D}=（2{x}_{n}+1）\overrightarrow{{P}_{n}C}$，$\overrightarrow{{P}_{n}E}=\frac{1}{3}{x}_{n+1}\overrightarrow{{P}_{n}B}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}E}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}B}|}=\frac{1}{3}{x}_{n+1}$，∴$\frac{{S}_{△{P}_{n}AE}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}=\frac{1}{3}{x}_{n+1}$；
∵$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}C}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}D}|}=\frac{|{P}_{n}C|}{|AE|}=\frac{1}{2{x}_{n}+1}$；
∴$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AE}}=\frac{1}{2{x}_{n}+1}$；
∴$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}=\frac{{x}_{n+1}}{3（2{x}_{n}+1）}=\frac{1}{3}$；
∴x_n+1=2x_n+1；
∴x_n+1+1=2（x_n+1）；
∴{x_n+1}构成以2为首项，2为公比的等比数列；
∴${x}_{5}+1=2•{2}^{4}$；
∴x₅=31．
故选A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，数乘的几何意义，两个三角形面积的比和底边的比，或高的比的关系，以及等比数列的定义，等比数列的通项公式．