Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x²+cx+d（a、c、d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0且f′（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a、c、d的值；
（2）若h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，解不等式f′（x）+h（x）＜0．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x²+cx+d，
∴f′（x）=ax²-

1

2

x+c，
∵f（0）=0，f′（1）=0，
∴d=0，a-

1

2

+c=0，
即d=0，c=

1

2

-a，
从而f′（x）=ax²-

1

2

x+

1

2

-a．
∵f′（x）≥0在R上恒成立，
∴a＞0，△=

1

4

-4a（

1

2

-a）≤0，
即a＞0，（a-

1

4

）²≤0，
解得a=

1

4

，c=

1

4

，d=0，
（2）由（1）知，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∵h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，
∴不等式f′（x）+h（x）＜0化为

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

+

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

＜0，
即x²-（

1

2

+b）x+

b

2

＜0，
∴（x-

1

2

）（x-b）＜0，
①若b＞

1

2

，则所求不等式的解为

1

2

＜x＜b；
②若b=

1

2

，则所求不等式的解为空集；
③若b＜

1

2

，则所求不等式的解为b＜x＜

1

2

．
综上所述，当b＞

1

2

时，所求不等式的解为(

1

2

，b)；当b=

1

2

时，所求不等式的解为∅；当b＜

1

2

时，所求不等式的解为(b，

1

2

)．