题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜ $数学公式$ 的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $数学公式$ ，且图象上一个最低点为M（ $数学公式$ ，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）如果将f（x）的图象向左平移θ个单位（其中θ∈（0， $数学公式$ ），就得到函数g（x）g（x）的图象，已知g（x）是偶函数，求θ的值．

解：（1）设f（x）的周期为T，由已知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即T=π，所以ω=2
∵图象上一个最低点为M（ $\text{[math]}$ ，-2），∴A=2
且2× $\text{[math]}$ +φ= $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z，即φ= $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z
∵0＜φ＜ $\text{[math]}$ ，∴φ= $\text{[math]}$
∴f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
（2）由- $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，
得- $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
故所求单调增区间为[- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]k∈Z
（3）g（x）=f（x+θ）=2sin（2x+2θ+ $\text{[math]}$ ）
∵g（x）是偶函数，∴2θ+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +kπ，
∴θ= $\text{[math]}$ kπ+ $\text{[math]}$
∵θ∈（0， $\text{[math]}$ ），∴θ= $\text{[math]}$
分析：（1）利用f（x）=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，先确定周期得ω的值，在确定振幅得A的值，最后利用代入法求得φ值即可；
（2）利用正弦曲线的单调性，将内层函数看做整体解不等式即可得函数的单调区间；
（3）先求得函数g（x）的解析式，利用正弦曲线的对称性得其对称轴方程，从而建立θ角的方程，再利用其范围确定θ的值即可
点评：本题主要考查了f（x）=Asin（ωx+φ）型函数解析式的求法，f（x）=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用正弦曲线的图象和性质求函数的单调区间、对称轴的方法