Question

已知关于t的一元二次方程t²+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,(x,y∈R)

（1）当方程有实根时，求点(x,y)的轨迹方程.

（2）求方程的实根的取值范围.

Answer 1

分析：（1）在已知方程中有t、x、y三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式,而结论是要求动点（x,y)的轨迹方程，联想到解析几何知识，求(x,y)的轨迹方程就是求关于x、y的方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t，问题得解.

（2）由下面解答过程中的②知x-y+t=0可看做一条直线，由③知(x-1)²+(y+1)²=2是一个圆，因此求实根t的范围可转化为直线与圆有公共点的问题.

解：（1）设实根为t：则t²+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0.

即(t²+2t+2xy)+(t+x-y)i=0.

根据复数相等的充要条件得

由②得t=y-x代入①得(y-x)²+2(y-x)+2xy=0.

即（x-1）²+(y+1)²=2                                                           ③

∴所求点的轨迹方程为(x-1)²+(y+1)²=2,轨迹是以(1,-1)为圆心,为半径的圆.

（2）由③得圆心为(1,-1),半径r=

直线与圆有公共点，则≤,

即|t+2|≤2,∴-4≤t≤0,

故方程的实根的取值范围为［-4,0］.