Question

【题目】已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） (2)

【解析】

（1）设动点，则，由展开计算得到的关系式即可；(2)当直线的斜率不存在（或者为0）时，可求出四点坐标，即可得到；当直线的斜率存在且不为0时，设为，直线的方程为，与轨迹的方程联立，结合根与系数的关系可得到+的表达式，然后利用函数与导数知识可求出的取值范围。

（1）设动点，则，

由，则，

所以，

化简得.

故点的轨迹的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，轴，

可设，

，

当直线的斜率为0时，轴，同理得，

当直线的斜率存在且不为0时，设为，则直线的方程为：，

设，由得:

，

则

所以，

则，

直线的方程为：，

同理可得：，

所以

令，则

，

，

由，得；，得；

在上单调递减，在上单调递增

，

又，故.

综上所述，的取值范围是.