Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．则椭圆C的离心率为

1

2

．

Answer 1

分析：依题意可求得直线AQ的方程，从而求得Q点的坐标，利用向量的坐标运算由2

F1F2

+

F2Q

=

0

可求得a，c之间的关系式，从而可求得椭圆C的离心率．

解答：解：∵A（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直线AF₂的斜率为：k=-

b

c

，
∵AQ⊥AF₂，
∴k_AQ=

c

b

．
∴直线AQ的方程为：y-b=

c

b

（x-0）=

c

b

x，
令y=0得：x=-

b2

c

．
∴Q点的坐标为（-

b2

c

，0）．
∵2

F1F2

+

F2Q

=

0

，
∴2（2c，0）+（-

b2

c

-c，0）=（0，0），
∴-

b2

c

=-3c，
∴3c²=b²=a²-c²，
∴

c2

a2

=

1

4

，
∴e=

c

a

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查向量的坐标运算，求得Q点的坐标是关键，属于中档题．