Question

已知函数f（x）=-x（x-a），x∈[a，1]
（1）若函数f（x）在区间[a，-1]上是单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[a，-1]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析：（1）欲使函数f（x）在区间[a，-1]上是单调函数，只须二次函数的对称轴在区间[a，-1]的外侧，从而列出不等关系即可求a的取值范围；
（2）欲求函数f（x）在区间[a，-1]上的最大值，下面对对称轴与所给区间的位置关系进行讨论，对每一种情况求出相应的最大值，再综合结果写出答案即可．

解答：解：（1）对称轴为x=

a

2

＜

1

2

，
∵函数f（x）在区间[a，1]上是单调函数，
∴

a

2

≤a，即a＞0．（4分）
（2）a＜1，
①当

a

2

＜a，即a＞0时，g（a）=f（a）=0，
②当a≤

a

2

≤1，即a≤0时，g（a）=f(

a

2

)=

a2

4

．
综上：g(a)=

0，a＞0 a2 4 ，a≤0

（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．属于基础题．