Question

【题目】设， ，令， ， .

（1）写出， ， 的值，并猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想an＝ （n∈N+）；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意结合函数的解析式计算可得a2＝f（a1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜想an＝ （n∈N+）；

（2）首先证明n＝1时，猜想正确. 然后假设n＝k时猜想正确，即ak＝，证明n＝k＋1时猜想正确即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）∵a1＝1，

∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，

a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，

猜想an＝ （n∈N+）；

（2）证明：①易知，n＝1时，猜想正确.

②假设n＝k时猜想正确，即ak＝，

则ak＋1＝f（ak）＝=.

这说明n＝k＋1时猜想正确.

由①②知，对于任何n∈N+，都有an＝.