Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=

3

2

an-

n

2

-

3

4

，设bn=log3(an+

1

2

)，则数列{

1

bn•bn+1

}的前19项和为

 

．

Answer 1

分析：令n=1求出a₁=

5

2

，因为s_n=

3

2

a_n-

n

2

-

3

4

①，当n≥2时求出s_n-1=

3

2

a_n-1-

n-1

2

-

3

4

②，用①-②得：a_n=3a_n-1+1，列举n=2，3，4，…分别求出各项，然后给各项都加

1

2

，归纳总结得到新数列为3为首项，3为公比的等比数列，把新数列的通项公式代入得到b_n，然后列举出数列{

1

bn•bn+1

}的前19项和，利用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

求出即可．

解答：解：令n=1，得到a₁=s₁=

3

2

a₁-

1

2

-

3

4

，解得a₁=

5

2

，
因为s_n=

3

2

a_n-

n

2

-

3

4

①
当n≥2时求出s_n-1=

3

2

a_n-1-

n-1

2

-

3

4

②
用①-②得：a_n=3a_n-1+1，所以代入求得a₂=

17

2

，a₃=

53

2

，a₄=

161

2

，…
所以数列{a_n+

1

2

}为以3为首项，3为公比的等比数列，
所以通项公式为3ⁿ，则b_n=

log

3n 3

=n，
数列{

1

bn•bn+1

}的前19项和为：

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b19b20

=

1

1×2

+

1

2×3

+..+

1

19×20

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

18

-

1

19

+

1

19

-

1

20

=

19

20

故答案为

19

20

．

点评：考查学生会利用做差法求数列通项公式，会根据已知归纳总结得到一般性的规律．