Question

已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求证：

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当当n=2时，左边=右边，我们要先证明a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*时，不等式成立，先假设当n=k（k∈N^*，k＞1）时，不等式成立，进而证明出当n=k+1时，结论也成立，即可得到对于a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，不等式成立．

解答：证明：（1）当n=2时，左边-右边=

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=(

a-b

2

)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假设当n=k（k∈N^*，k＞1）时，不等式成立，即

ak+bk

2

≥(

a+b

2

)k．（4分）
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
当n=k+1时，(

a+b

2

)k+1=(

a+b

2

)k•

a+b

2

≤

ak+1+bk+1

2

•

a+b

2

=

ak+1+bk+1+akb+abk

4

≤

ak+1+bk+1+ak+1+bk+1

4

=

ak+1+bk+1

2

．
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，不等式

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n总成立（11分）．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．