Question

设数列{a_n}的前n项和S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

Sn-1

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）把a_n=S_n-S_n-1，代入x²-a_nx-a_n=0中化简整理得S_n=

1

2-Sn-1

，等式两边同时减1，整理后同时取倒数，整理得

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1，进而可证明数列{

1

Sn-1

}为等差数列．
（2）由（1）可求得数列{S_n}的通项公式，再根据a_n=S_n-S_n-1求得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0…（1）；
代入n=1，得S₁=a₁=

1

2

…（2）；
当n＞1时，
由a_n=S_n-S_n-1，代入式（1）得
S_n=

1

2-Sn-1

S_n-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1
故数列{

1

Sn-1

}为等差数列；
（2）再由（1）知数列{

1

Sn-1

}是为以-2为首项，-1为公差数列
∴

1

Sn-1

=-1-n
∴S_n=

n

n+1

∴a_n=S_n-S_n-1=

1

n(n+1)

点评：本题主要考查了等差数列的性质．主要考查了等差数列的判定和求和问题．