Question

在△ABC中，a，b，c依次是角A，B，C所对的边，且4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos2B=1+

3

．
（1）求角B的度数；
（2）若B为锐角，a=4，sinC=

1

2

sinB，求边c的长．

Answer 1

分析：（1）由4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos2B=1+

3

利用诱导公式及二倍角公式化简可得sinB=

3

2

，结合0°＜B＜180°可求
（2）若B为锐角，则B=60°，由a=4，sinC=

1

2

sinB结合正弦定理可得c=

1

2

b，在△ABC中，由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

可求c

解答：解：（1）∵4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos2B=1+

3

可求c
∴sinB•2[1-cos(

π

2

+B)]+cos2B=1+

3

即2sinB+2sin2B+cos2B=1+

3

∴sinB=

3

2

0°＜B＜180°
B=60°或B=120°
（2）若B为锐角，则B=60°
∵a=4，sinC=

1

2

sinB
由正弦定理可得c=

1

2

b
在△ABC中，由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

1

2

=

16+c2-4 c2

8c

∴c=

2 13 -2

3

点评：本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，正弦定理与余弦定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角的基本公式