Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c．

(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)零点个数；

(2)若对x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f(x₁)≠f(x₂)，证明方程f(x)＝[f(x₁)＋f(x₂)]必有一个实数根属于(x₁，x₂)．

(3)是否存在a，b，c∈R，使f(x)同时满足以下条件①当x＝－1时，函数f(x)有最小值0；；②对x∈R，都有0≤f(x)－x≤(x－1)²．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　　2分 　　当时，函数有一个零点；　3分 　　当时，，函数有两个零点．　4分 　　(2)令，则 　　 　　， 　　 　　在内必有一个实根． 　　即方程必有一个实数根属于．　8分 　　(3)假设存在，由①得 　　 　　由②知对，都有 　　令得 　　由得， 　　当时，，其顶点为(－1，0)满足条件①，又对，都有，满足条件②． 　　∴存在，使同时满足条件①、②．　12分