Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点（S_n，n）都在函数f（x）=log₂（x+4）-2的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=an•log

1

2

1

an

，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据点（S_n，n）都在函数f（x）=log₂（x+4）-2的图象上，可得n=log₂（S_n+4）-2，即Sn=2n+2-4，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）求得数列{b_n}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{b_n}的前n项的和T_n

解答：解：（I）由题意，∵点（S_n，n）都在函数f（x）=log₂（x+4）-2的图象上
∴n=log₂（S_n+4）-2，
∴Sn=2n+2-4．…（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+2-2n+1=2n+1，…（4分）
当n=1时，a1=S1=23-4=4也适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n+1，n∈N*．…（6分）
（II）∵bn=an•log

1

2

1

an

=an•log2an=(n+1)2n+1，…（8分）
∴Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+(n+1)2n+1，①
2Tn=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+(n+1)•2n+2，②
②-①得Tn=-23-23-24-…-2n+1+(n+1)•2n+2=-23-

23(1-2n-1)

1-2

+(n+1)•2n+2
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1=n•2ⁿ⁺²…（12分）

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，解题的关键是掌握数列求通项的方法，正确运用错位相减法，属于中档题．