Question

已知定义在R上的函数f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-.

(1)求f(x)的解析式.

(2)当x∈［-1,1］时,图象上是否存在两点,使得此两点处的切线互相垂直?证明你的结论.

(3)若x₁、x₂∈［-1,1］时,求证:|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

剖析:(1)f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),从而可得b=0,d=0.x=1时,f(x)取极小值,则f′(1)=0且f(1)=-,可求a、c.

    (2)探索满足条件的点是否存在,一般按存在来求.利用条件若求出,则存在;若推出矛盾,则不存在.

    (3)只需求函数值域即可.

解:(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称,

    ∴f(0)=0,即4d=0.∴d=0.

    又f(-1)=-f(1),

    即-a-2b-c=-a+2b-c,∴b=0.

    ∴f(x)=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.

    ∵x=1时,f(x)取极小值-,

    ∴3a+c=0且a+c=-.

    解得a=,c=-.

    ∴f(x)=x³-x.

    (2)当x∈［-1,1］时,图象上不存在这样的两点使得结论成立.

    假设图象上存在两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

    使得过此两点处的切线互相垂直,

    由f(x)知切线斜率都存在,

    则由f′(x)=(x²-1)知两点处的切线斜率分别为k₁=(x₁²-1),k₂=(x₂²-1),

    且(x₁²-1)(x₂²-1)=-1.                            (*)

    ∵x₁、x₂∈［-1,1］,

    ∴x₁²-1≤0,x₂²-1≤0.

    ∴(x₁²-1)(x₂²-1)≥0.此与(*)矛盾,

    故假设不成立.

     (3)f′(x)=(x²-1),

    令f′(x)=0,得x=±1.

    ∴x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0,x∈(-1,1)时,f′(x)＜0.

    ∴f(x)在［-1,1］上是减函数,且f(x)_max=f(-1)=,f(x)_min=f(1)=-.

    ∴在［-1,1］上|f(x)|≤,

    于是x₁、x₂∈［-1,1］时,

     |f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=.