Question

已知函数f（x）=

1

3

ax3-bx²+（2-b）x+1在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2
（1）当x₁=

1

2

，x₂=

3

2

时，求a，b的值；
（2）若w=2a+b，求w的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，因为函数在x₁=

1

2

，x₂=

3

2

时取得极值得到：

1

2

，

1

3

是导函数等于0的两个根，由此可求出a，b值；
（2）由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到导函数在x=0、2时大于0，导函数在x=1时小于0，得到如图所示的三角形ABC，求出三个顶点的坐标即可得到相应的z值，得到z的取值范围即可．

解答：解：（1）f′（x）=ax²-2bx+（2-b），
由题意得

a( 1 2 )2-2b× 1 2 +(2-b)=0 a( 3 2 )2-2b× 3 2 +(2-b)=0

，即

1 4 a-2b+2=0 9 4 a-4b+2=0

，
解得

a= 8 7 b= 8 7

．
（2）在题设下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等价于

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

2-b＞0 a-2b+2-b＜0 4a-4b+2-b＞0

，化简得

2-b＞0 a-3b+2＜0 4a-5b+2＞0

．
此不等式组表示的平面区域aob上三条直线：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0
所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A（

4

7

，

6

7

），B（2，2），C（4，2），
z在这三点的值依次为：

16

7

，6，8，
所以z的取值范围为（

16

7

，8）．

点评：本题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用数形结合法进行简单的线性规划．在解题时学生应注意利用数形结合的数学思想解决问题．