题目内容

已知数列{an}满足a1=1，an=（n≥2）．
（1）求a2，a3，
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设{an}的前n项和Sn，证明：Sn＞2-．
【答案】分析：（1）a1=1，再an=（n≥2）中令n=2求a2，令n=3求a3．
（2）由an=（n≥2），两边取倒数，得出=，令cn=，构造得出数列{cn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
通过数列{cn+1}的通项公式求an．
（3）由（2）an=，直接求Sn不易求．将每项进行缩小，an=＞，利用错位相消法将右边相加、化简后，即可证明．
解答：解：（1），
（2）an=（n≥2）．
∴=，
令cn=，则cn=2cn-1+1，cn+1=2（cn-1+1），
又c1+1==2，所以数列{cn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以cn+1=2n，cn=2n-1，
∴an=
（3）an=＞，所以Sn＞a1+a2+…+an=
令Tn=①
则=②
①-②得==
Tn=2-．
所以Sn＞2-．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式求解，数列求和，放缩法不等式的证明，考查计算能力，转化思想．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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