Question

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：

2

，则它们的面积比为1：2，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积的比为

1：8

．

Answer 1

分析：利用类比推理可知：猜想体积比应是棱长比的立方，通过计算正四面体的体积即可验证其猜想．

解答：解：如图所示，两个正四面体的棱长分别为2a、a．
假设AB=2a，点O是正△ABC的中心，则PO⊥平面ABC，则AO=

2

3

AD=

2

3

×

3

a=

2 3 a

3

，∴PO=

AP2-AO2

=

(2a)2-( 2 3 a 3 )2

=

2 6 a

3

．
而S_△ABC=

1

2

(2a)2sin60°=

3

a2，
∴V_P-ABC=

1

3

S△ABC×PO=

1

3

×

3

a2×

2 6 a

3

=

2 2 a3

3

=

2 (2a)3

12

．
∴

V2a

Va

=

2 (2a)3 12

2 a3 12

=

8

1

．
故答案为1：8．

点评：熟练掌握类比推理及其正四面体的体积计算公式设解题的关键．