题目内容
已知函数f(x)=cos2x-sin2x+2
sinxcosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（α）=2，且α∈[
，
]，求α的值．
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（α）=2，且α∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，二倍角公式化简函数的解析式为 2sin（2x+
）+1，由此求得函数的最小正周期及最小值．
（2）由f（α）=2，求得sin(2α+
)=
，再由α∈[
，
]求出2α+
=
π，从而求出α的值．
| π |
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（2）由f（α）=2，求得sin(2α+
| π |
| 6 |
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| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
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| 5 |
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解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=cos2x-sin2x+2
sinxcosx+1=cos2x+
sin2x+1=2sin（2x+
）+1，…（5分）
因此，f（x）的最小正周期为π，最小值为-2+1=-1．…..（7分）
（2）由f（α）=2 得2sin(2α+
)+1=2，即sin(2α+
)=
．…（9分）
而由α∈[
，
]得2α+
∈[
π，
π]，…..（10分）
故 2α+
=
π，…..（11分）
解得α=
．…..（12分）
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
因此，f（x）的最小正周期为π，最小值为-2+1=-1．…..（7分）
（2）由f（α）=2 得2sin(2α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
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| 2 |
而由α∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2 |
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| 6 |
故 2α+
| π |
| 6 |
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| 6 |
解得α=
| π |
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点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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