Question

已知{a_n}是等比数列且a_n＞0，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，

求a₃+a₅的值.

Answer 1

解法一：设等比数列的公比为q,

又a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25,

∴a₁q·a₁q³+2a₁q²·a₁q⁴+a₁q³·a₁q⁵=25,

a₁²q⁴(1+2q²+q⁴)=25,

即［a₁q²(1+q²)］²=25.

又∵a_n＞0,

∴a₁＞0,q＞0,

∴a₁q²(1+q²)＞0,

a₁q²(1+q²)=5,a₁q²+a₁q⁴=5.

∴a₃+a₅=5.

解法二：

∵{a_n}是等比数列,

∴有a₂a₄=a₃²,a₄a₆=a₅²,

于是，得（a₃+a₅）²=25.

又∵a_n＞0,

∴a₃+a₅=5.