题目内容

已知函数 $数学公式$ 且 $数学公式$ ．
（I）求m的值；
（II）判定f（x）的奇偶性；
（III）证明f（x）在 $数学公式$ 上是单调递增函数．

解：（Ⅰ）∵f（4）= $\text{[math]}$ ，
∴f（4）=4^m+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴4^m=4，m=1…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x+ $\text{[math]}$ ，
∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，…5
又f（-x）=-x- $\text{[math]}$ =-（x+ $\text{[math]}$ ）=-f（x），
∴f（x）是奇函数…8
（Ⅲ）设 $\text{[math]}$ ≤x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+ $\text{[math]}$ -（x₂+ $\text{[math]}$ ）=（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ）=（x₁-x₂） $\text{[math]}$ …11
∵ $\text{[math]}$ ≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
∴ $\text{[math]}$ ＞0，…13
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在 $\text{[math]}$ 上是单调递增函数．
分析：（Ⅰ）由于f（4）= $\text{[math]}$ ，故f（4）=4^m+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可求得m；
（Ⅱ）利用奇偶函数的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用单调性的定义即可判断之．可设 $\text{[math]}$ ≤x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）判断即可．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查对奇偶性与单调性概念的理解与应用，属于中档题．