Question

（2012•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＜

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＞

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

．

Answer 1

分析：（I）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；
（II）先证明x＞1时，f（x）＞f（1）=0，再设g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+

1

x

-x²（x＞1），求导函数，确定g（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得

1

f(x)

＞

1

x2-1

=

1

2

（

1

x-1

-

1

x+1

），再叠加，即可得到结论．

解答：（I）解：函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

当a=0时，f′(x)=

x-1

x2

，令f′(x)=

x-1

x2

＞0可得x＞1，令f′(x)=

x-1

x2

＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
当a＜0时，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得x＞1或x＜

1

a

-1（舍去），此时函数f（x）在（1，+∞_上增函数，在（0，1）上是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得1＜x＜

1

a

-1
此时函数f（x）在（1，

1

a

-1）上是增函数，在（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上是减函数   …（6分）
（II）证明：由（I）知：a=0时，f（x）=lnx+

1

x

-1在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0
设g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+

1

x

-x²（x＞1），则g′(x)=

-(x+1)(2x2-2x+1)

x2

∵2x²-2x+1＞0恒成立，∴x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减
∴x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜x²-1
∵f（x）＞0，∴

1

f(x)

＞

1

x2-1

=

1

2

（

1

x-1

-

1

x+1

）
∴

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＞

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

∴不等式得证                              …（12分）

点评：本题考查导数知识，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查裂项法求和，属于中档题．