Question

如图,在四棱锥P—ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上.

(1)求F在何处时，EF⊥平面PBC?

(2)在（1）的条件下，EF是否是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；

Answer 1

解：(1)以A为坐标原点，以射线AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，），A（0，0，0），B（0，，0），C（2，，0），D（2，0，0），E（1，0，0）?

∵F在PC上，?

∴可令=λ,设F（x,y,z）.?

=(2,0,0), =(2,,-), =(x-1,y,z).?

∵EF⊥平面PBC，?

∴·=0，且·=0，又=λ.?

可得λ=,x=1,y=z=.?

故F为PC的中点.?

(2)由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC，即EF⊥AD，??

∴EF是PC与AD的公垂线段，其长为||=1.