Question

已知数列{a_n}满足，且对任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试问数列{a_n}中任意连续两项的乘积a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，可得，（3分）
所以数列是以为首项，公差为的等差数列． （6分）
（2）由（1）可得数列的通项公式为，所以． （8分）
==． （10分）
因为，（11分）
当k∈N^*时，一定是正整数，所以是正整数． （13分）
所以a_k•a_k+1是数列{a_n}中的项，是第项． （14分）
分析：（1）直接利用已知条件，通过等差数列的定义，证明数列为等差数列；
（2）通过（1）求出数列的通项公式，然后化简a_k•a_k+1（k∈N^*），使得为通项公式的形式，即可判断是否是{a_n}中的项，然后求是数列的第几项；
点评：本题是中档题，考查等差数列的证明的方法，数列通项公式的应用，考查转化思想、计算能力．