Question

已知数列{a_n}中，，且前n项和为S_n满足．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并归纳出a_n的通项公式；
（2）由（1）问结论，用反证法证明不等式：a_n＞a_n+1．

Answer 1

解：（1）由得：
当n=2时，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂，∴．
当n=3时，S₃=9a₃，即a₁+a₂+a₃=9a₃，．
当n=4时，S₄=16a₄，即a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，．
归纳出：．
（2）假设a_n≤a_n+1，则有，即 ，
由此解得 n+2≤n，即2≤0，矛盾．
∴假设不成立，故 a_n＞a_n+1成立，不等式得证．
分析：（1）由，分别令n等于2，3，4，即可得到数列的前4项，由此归纳出{a_n}的通项公式．
（2）假设a_n≤a_n+1，则由{a_n}的通项公式，即，即n+2≤n，即2≤0矛盾，从而证得a_n＞a_n+1 成立．
点评：本题主要考查用数列的递推式求数列的前几项，用反证法和放缩法证明数学命题，掌握好放缩的程度，是解题的难点，属于中档题．