如图.椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和圆C2:x2+y2=b2.已知椭圆C1过点(1.$\frac{\sqrt{2}}{2}$).焦距为2． (1)求椭圆C1的方程,(2)椭圆C1的下顶点为E.过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线t＞1.与圆C2相交于点A.B.直线EA.EB与椭圆C1的另一个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知椭圆C₁过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），焦距为2．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）椭圆C₁的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线t＞1，与圆C₂相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C₁的另一个交点分别是点P、M．设PM的斜率为k₁，直线l斜率为k₂，求$\frac{k_2}{k_1}$的值．

分析（1）将点代入椭圆方程，解方程组，求得a²=2，b²=1，可得椭圆C₁的方程；
（2）设出PE所在直线方程，和椭圆方程联立求得P、M的坐标，则k₁可求，联立直线PE的方程与圆的方程求得M坐标，则直线l斜率为k₂求，作比可得$\frac{k_2}{k_1}$的值．

解答解：（1）∵椭圆C₁过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），焦距为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\end{array}\right.$解方程组，求得a²=2，b²=1，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，
不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}\\ y=\frac{{2{k^2}-1}}{{2{k^2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$，∴$P（\frac{4k}{{2{k^2}+1}}，\frac{{2{k^2}-1}}{{2{k^2}+1}}）$．…（6分）
用$-\frac{1}{k}$去代k，得$M（\frac{-4k}{{2+{k^2}}}，\frac{{2-{k^2}}}{{2+{k^2}}}）$，…（8分）
则${k_1}={k_{PM}}=\frac{{{k^2}-1}}{3k}$…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2k}{{{k^2}+1}}\\ y=\frac{{{k^2}-1}}{{{k^2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$∴$A（\frac{2k}{{{k^2}+1}}，\frac{{{k^2}-1}}{{{k^2}+1}}）$．…（12分）
则${k_2}={k_{OA}}=\frac{{{k^2}-1}}{2k}$，所以$\frac{k_2}{k_1}=\frac{3}{2}$．…（14分）

点评本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了方程组的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的运算能力，属高考试题中的压轴题．