Question

已知函数f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

．
（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为 sin（

x

2

+

π

6

）+1，故f（x）的周期为4π，由sin(

x

2

+

π

6

)=0，得x=2kπ-

π

3

，故f（x）图象的对称中心为(2kπ-

π

3

，1)，k∈Z．
（2）利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化简可得cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

，从而得到

A

2

+

π

6

 的范围，进而得到函数f（A）的取值范围．

解答：解：（1）由f(x)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+1=sin(

x

2

+

π

6

)+1，∴f（x）的周期为4π．
由sin(

x

2

+

π

6

)=0，得x=2kπ-

π

3

，故f（x）图象的对称中心为(2kπ-

π

3

，1)，k∈Z．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

．∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，
故函数f（A）的取值范围是(

3

2

，2)．

点评：本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值．