Question

已知函数f(x)=logm

1+x

1-x

(其中m＞0，m≠1)，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）具有性质：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
（3）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）先看定义域是否关于原点对称，再利用对数的运算性质，看f（-x）与f（x）的关系，依据奇函数、偶函数的定义进行判断．
（2）先利用对数的运算性质化简等式的左边，再化简等式的右边，直到左边和右边是同一个表达式，即可证明等式成立．
（3）利用第（2）的结论和本题中2个已知条件，得到2个关于f（a）和f（b）的方程，解出f（a）和f（b）的值．

解答：解：（1）由题意知，

1+x

1-x

＞0，∴-1＜x＜1，定义域关于原点对称，
f（-x）=

log

1-x 1+x m

=-

log

1+x 1-x m

=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）∵f（x）+f（y）=

log

1+x 1-x m

+

log

1+y 1-y m

=

log	(1+x)(1+y) (1-x)(1-y) m

，
f（

x+y

1+xy

）=

log	1+ x+y 1+xy 1- x+y 1+xy m

=

log	1+xy+x+y 1+xy-x-y m

=

log	(1+x)(1+y) (1-x)(1-y) m

，
∴f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（3）∵f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，∴f（a）+f（b）=1，
f（a）-f（b）=3，∴f（a）=2，f（b）=-1．

点评：本题考查函数的奇偶性、对数的运算性质和求函数值．