Question

已知函数f（x）=

ln(1+x)

ax

，其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a使f（x）＜1在x∈R⁺上恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得到函数的单调区间；
（2）若f（x）＜1在x∈R⁺上恒成立，即ln（1+x）＜ax在R⁺上恒成立．构造函数h（x）=ln（1+x）-ax（x∈R⁺），只需找满足不等式h（x）＜0的a值即可．

解答：解：（1）f′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

ax2

，设g（x）=

x

1+x

-ln(1+x)=1-

1

1+x

-ln（1+x），
则g′（x）=（1+x）^-2-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

．
可知g（x）在（-1，0）上递增，在（0，+∞）上递减，
所以f（x）在（-1，0），（0，+∞）上是减函数，
即f（x）的单调递减区间为（-1，0），（0，+∞）．
（2）若f（x）＜1在x∈R⁺上恒成立，即ln（1+x）＜ax在R⁺上恒成立．
设h（x）=ln（1+x）-ax（x∈R⁺），则h′（x）=

1

1+x

-a，
①若a≥1，则x∈R⁺时，h′（x）＜0恒成立，所以h（x）＜h（0）=0符合题意；
②若a≤0，显然不符合题意；
③若0＜a＜1，则h′（x）=

1

1+x

-a=0，有x=

1

a

-1，所以x∈（0，

1

a

-1）时h′（x）≥0，
所以y=h（x）在[0，

1

a

-1]上为增函数，当x∈[0，

1

a

-1]时，h（x）＞h（0）=0，所以不符合题意．
综上，a≥1．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，不等式的证明问题常转化为函数的最值处理．