Question

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为2

2

时，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．

Answer 1

（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，
则圆心到直线l：x-y+3=0的距离d=

|a-2+3|

12+(-1)2

=

|a+1|

2

，
由勾股定理可知d2+(

2 2

2

)2=r2，代入化简得|a+1|=2，
解得a=1或a=-3，
又a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（1）知圆C：（x-1）²+（y-2）²=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2
由（3，5）到圆心的距离为

4+9

=

13

＞r=2，得到（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y-5=k（x-3）
由圆心到切线的距离d=

|-2k+3|

k2+1

=r=2，
化简得：12k=5，可解得k=

5

12

，
∴切线方程为5x-12y+45=0；
②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．
由①②可知切线方程为5x-12y+45=0或x=3．