题目内容

如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m²，要使长方形的面积最大，求其边长x．

解：根据题意得：AD=BC= $\text{[math]}$ ，上边三角形的面积为： $\text{[math]}$ （5-x） $\text{[math]}$ ，右侧三角形的面积为： $\text{[math]}$ x（12- $\text{[math]}$ ），
所以y=30- $\text{[math]}$ （5-x） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x（12- $\text{[math]}$ ），
整理得y=- $\text{[math]}$ x²+12x，
=- $\text{[math]}$ [x2-5x+（ $\text{[math]}$ ）2- $\text{[math]}$ ]，
=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+15，
∵ $\text{[math]}$
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为 $\text{[math]}$ m．
故要使长方形的面积最大，其边长 $\text{[math]}$ m．
分析：本题考查二次函数最小（大）值的求法．欲求使长方形的面积最大时的边长x，先利用：长方形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积表示出函数y，再利用二次函数的性质求出最大值及相应的x的值即可．
点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比较简单．

练习册系列答案

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（1）写出m的值并求出当0≤x≤m时，点P运动路径的长度l；
（2）写出函数f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：

函数性质	结论
奇偶性	偶函数偶函数
单调性	递增区间	[4k，4k+2]，k∈z [4k，4k+2]，k∈z
	递减区间	[4k-2，4k]，k∈z [4k-2，4k]，k∈z
零点	x=4k，k∈z x=4k，k∈z

（3）试讨论方程f（x）=a|x|在区间[-8，8]上根的个数及相应实数a的取值范围．

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