Question

已知命题p：|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a﹣1）^x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是　　．

Answer 1

考点：

指数函数的单调性与特殊点；复合命题的真假．

专题：

计算题．

分析：

利用绝对值的几何意义结合恒成立的解决方法可求的命题p为真时a的范围，然后用指数函数的知识可以求出命题q为真时a的范围，进而求交集得出a的取值范围．

解答：

解：∵p且q为真命题，

∴命题p与命题q均为真命题．

当命题p为真命题时：

∵|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，

∴只须|x﹣1|+|x+1|的最小值≥3a即可，

而有绝对值的几何意义得|x﹣1|+|x+1|≥2，

即|x﹣1|+|x+1|的最小值为2，

∴应有：3a≤2，解得：a≤，①．

当命题q为真命题时：

∵y=（2a﹣1）^x为减函数，

∴应有：0＜2a﹣1＜1，解得：，②．

综上①②得，a的取值范围为： 即：（]．

故答案为：（]．

点评：

本题以恒成立为载体结合绝对值的几何意义、指数函数的单调性考查复合命题的真假判断，属于综合性的题目，要加以训练．