Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
（3）探讨函数F（x）=lnx﹣ + 是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xlnx，

f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x= ．

① 当0＜t＜ 时，在x∈[t， ）上f′（x）＜0；在x∈（ ．t+2]上f′（x）＞0．

因此，f（x）在x= 处取得极小值，也是最小值．fmin（x）=﹣ ．

②当t≥ ，f′（x）≥0，因此f（x）在[t，t+2]上单调递增，

∴fmin（x）=f（t）=tlnt

（2）解：由对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

即有2xlnx≥﹣x2+ax﹣3．

即a≤2lnx+x+ 恒成立，

令h（x）=2lnx+x+ ，h′（x）= +1﹣ = = ，

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，

∴a≤h（x）min=h（1）=4．

即实数a的取值范围是（﹣∞，4]

（3）解：令m（x）=2xlnx，

m'（x）=2（1+lnx），

当x∈（0， ）时，m'（x）＜0，m（x）递减；

当x∈（ ，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）递增；

∴m（x）的最小值为m（ ）=﹣ ，

则2xlnx≥﹣ ，

∴lnx≥﹣ ，

F（x）=lnx﹣ + =0①

则F（x）=lnx﹣ + ≥﹣ ﹣ + = （ ﹣ ），

令G（x）= ﹣ ，则G'（x）= ，

当x∈（0，1）时，G'（x）＜0，G（x）递减；

当x∈（1，+∞）时，G'（x）＞0，G（x）递增；

∴G（x）≥G（1）=0 ②

∴F（x）=lnx﹣ + ≥﹣ ﹣ + = （ ﹣ ）≥0，

∵①②中取等号的条件不同，

∴F（x）＞0，故函数F（x）没有零点

【解析】（1）求得f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，可得x= ．对t分类讨论：当0＜m＜ 时，及当t≥ 时，分别研究其单调性、极值与最值，即可得出；（2）由题意可得，2xlnx≥﹣x2+ax﹣3．即a≤2lnx+x+ 恒成立，令h（x）=2lnx+x+ ，求出导数和单调区间，可得极小值且为最小值，由此求出实数a的取值范围；（3）把函数整理成F（x）=lnx﹣ + ≥﹣ ﹣ + = （ ﹣ ），要判断是否有零点，只需看F（x）的正负问题，令G（x）= ﹣ ，利用导数分析G（x）的单调区间和最值，即可判断是否存在零点．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．