Question

现有A，B两球队进行友谊比赛，设A队在每局比赛中获胜的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）若比赛6局，求A队至多获胜4局的概率；
（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A，利用相互对立事件的概率计算公式可得P（A）=1-[

C

5 6

（

2

3

）⁵（1-

2

3

）+

C

6 6

（

2

3

）⁶]即可．
（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5．利用互斥事件的概率计算公式和独立事件的概率计算公式即可得出．P（ξ=3）=（

2

3

）³+（

1

3

）³，P（ξ=4）=

C

2 3

（

2

3

）²×

1

3

×

2

3

+

C

2 3

（

1

3

）²×

2

3

×

1

3

，P（ξ=5）=

C

2 4

（

2

3

）²（

1

3

）²．再利用数学期望的计算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）记“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A，
则P（A）=1-[

C

5 6

（

2

3

）⁵（1-

2

3

）+

C

6 6

（

2

3

）⁶]=1-

256

729

=

473

729

．
故A队至多获胜4局的概率为

473

729

．
（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5．
P（ξ=3）=（

2

3

）³+（

1

3

）³=

9

27

=

1

3

，
P（ξ=4）=

C

2 3

（

2

3

）²×

1

3

×

2

3

+

C

2 3

（

1

3

）²×

2

3

×

1

3

=

10

27

，
P（ξ=5）=

C

2 4

（

2

3

）²（

1

3

）²=

8

27

．
∴ξ的分布列为：
∴E（ξ）=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

点评：熟练掌握随机变量的分布列和数学期望的计算方法、相互独立事件和互斥事件的概率计算公式等是解题的关键．