Question

已知函数f(x)=

3

sinx•cosx-

1

2

cos2x(x∈R)．
（I）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c，且c=

3

，f(C)=1，求三角形ABC的外接圆面积．

Answer 1

分析：（I）通过二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数的表达式，借助正弦函数的最值求函数f（x）的最小值，利用周期公式求出函数最小正周期；
（II）利用f（C）=1，求出C，利用正弦定理求出外接圆的直径，然后求出面积．

解答：解：（I）∵f(x)=

3

sinx•cosx-

1

2

cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
∵x∈R，∴2x-

π

6

∈R
∴-1≤sin(2x-

π

6

) ≤1，
∴f（x）=sin(2x-

π

6

)的最小值是-1，
f（x）=sin(2x-

π

6

)的最小正周期为：T=

2π

2

=π，
故函数的最小正周期是π．
（II）∵f（C）=1∴sin（2C-

π

6

）=1，且0＜2C＜2π，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

．
由正弦定理得到：2R=

c

sinC

=

3

3 2

=2（R为外接圆半径），
∴R=1．
∴三角形ABC的外接圆面积为S=π．

点评：考查三角恒等变形，正弦定理，解三角形．考查计算能力．