Question

有如下列命题：
①

x2+2

x2+1

的最小值为2；
②lgx+log_x10的最小值是2；
③sin2x+

4

sin2x

的最小值是4；
④若x＞0，y＞0且

2

x

+

8

y

=1，则xy的最小值是64；
⑤若a＞0，b＞0，a+b=1，则(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2的最小值是8；
写出所有正确命题的序号

①④

．

Answer 1

分析：根据基本不等式的条件分别进行判断．

解答：解：①

x2+2

x2+1

=

x2+1+1

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，当且仅当

x2+1

=

1

x2+1

，即x²+1=1，所以x=0时取等号，所以①正确．
②当0＜x＜1时，lgx＞0，所以②错误．
③sin2x+

4

sin2x

≥2

sin2x? 4 sin2x

=2

4

=4，当且仅当sin2x=

4

sin2x

，即sin²x=2取等号，显然不成立，所以③错误．
④由

2

x

+

8

y

=1，得1=

2

x

+

8

y

≥2

2 x ? 8 y

=2

16 xy

，解得xy≥64，所以xy的最小值是64，所以④正确．
⑤因为(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=≥(2

a? 1 a

)2+(2

b? 1 b

)2=4+4=8，当且仅当a=

1

a

且b=

1

b

，即a=1，b=1时取等号，但a+b=2与a+b=1矛盾，所以⑤不正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，主要基本不等式成立的条件．一正，二定，三相等，缺一不可．