Question

已知数列{a_n}满足：．若，且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范为（ ）
A．λ＞2
B．λ＞3
C．λ＜2
D．λ＜3

Answer 1

【答案】分析：，分别令n=1，2，3，依次求出a₂=，a₃=，a₄=，由此猜想a_n=，并用用数学归纳法证明．由a_n=．知b_n+1=（n-λ）（+1）=（n-λ）•2ⁿ，再由b₁=-λ，数列{b_n}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．
解答：解：∵，
∴a₂==，
a₃==，
a₄==，
由此猜想a_n=．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，=1，成立；
②假设n=k时，等式成立，即，
则当n=k=1时，a_k+1===，成立．
∴a_n=．
∴b_n+1=（n-λ）（+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∴b₂=（1-λ）•2=2-2λ，
∵b₁=-λ，数列{b_n}是单调递增数列，
∴b₁=-λ＜b₂=2-2λ，
解得λ＜2．
故选C．
点评：本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．