Question

已知函数f（x）=e^x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．

（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；

（Ⅱ）当a＞2时，若∃t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，求a的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；

（Ⅱ）当a＞2时，若∃t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求，令S'（t）=0，得t=a﹣1．下面对字母a进行分类讨论：a﹣1≥2；a﹣1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；

解答：

解：（I） 因为，其中t≠a…（2分）

当a=0，，其中t≠0

当t＞0时，，，

所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）

当t＜0时，，，

令，解得t＜﹣1，所以S（t）在（﹣∞，﹣1）上递增

令，解得t＞﹣1，所以S（t）在（﹣1，0）上递减 …（7分）

综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（﹣∞，﹣1），S（t）的单调递增区间为（﹣1，0）

（II）因为，其中t≠a

当a＞2，t∈[0，2]时，

因为∃t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，

，令S'（t）=0，得t=a﹣1…（8分）

当a﹣1≥2时，即a≥3时对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，

所以当t=2时，S（t）取得最大值

令，解得   ，

所以a≥3…（10分）

当a﹣1＜2时，即a＜3时对t∈（0，a﹣1）成立，S（t）单调递增，对t∈（a﹣1，2）成立，S（t）单调递减，

所以当t=a﹣1时，S（t）取得最大值，

令，解得a≥ln2+2，

所以ln2+2≤a＜3…（12分）

综上所述，ln2+2≤a…（13分）

点评：

本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．