Question

【题目】已知函数f（x）= ，数列{an}满足a1=1，an+1=f（ ），n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn= （n≥2），b1=3，Sn=b1+b2++bn ， 若Sn＜ 对一切n∈N*成立，求最小正整数m．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，数列{an}满足a1=1，

∴ = ，

∴{an}是首项为1，公差为 的等差数列，

∴ ．

（2）解：当n≥2时，

bn= = = ，

当n=1时，b1=3，代入上式成立，

∴Sn=b1+b2++bn

=

= ，

∵Sn＜ ，∴ 对一切n∈N*成立，

又 沿n递增，且 ，

∴ ，∴m≥2013，

∴最小正整数m为2013．

【解析】（1）由已知条件得 = ，由此能求出 ．（2）当n≥2时，bn= = = ，当n=1时，b1=3，代入上式成立，由此利用裂项求和法结合已知条件得到 对一切n∈N*成立，由此能求出最小正整数m为2013．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．