Question

已知函数．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，
（1）求m取值范围；
（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）由题意，令在x∈[1，+∞）上恒成立
…4分
当时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．
∵g_max=g（1）≤0
∴原式成立．
当，即0＜m＜1时，∵
∴不能恒成立．
综上：m≥1…9分
（2）证明：取m=1，则lnx，∴
令x=n，∴
∴
∵
∴2ln2+3ln3+…+nlnn，原不等式成立…12分
分析：（1）由题意，令在x∈[1，+∞）上恒成立，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性与最值，即可确定m取值范围；
（2）取m=1，则lnx，令x=n，可得，累加并化简可得结论．
点评：本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查不等式的证明，正确求导，合理取值是关键．