Question

设F₁、F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF₂=F₁F₂，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

4x±3y=0

．

Answer 1

分析：过F₂点作F₂Q⊥PF₁于Q点，得△PF₁F₂中，PF₂=F₁F₂=2c，高F₂Q=2a，PQ=

1

2

PF₁=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到

b

a

的值，得到该双曲线的渐近线方程．

解答：解：∵PF₂=F₁F₂=2c，
∴根据双曲线的定义，得PF₁=PF₂+2a=2c+2a
过F₂点作F₂Q⊥PF₁于Q点，则F₂Q=2a，
等腰△PF₁F₂中，PQ=

1

2

PF₁=c+a，
∴PF 22=PQ²+QF 22，即（2c）²=（c+a）²+（2a）²，
解之得a=

3

5

c，可得b=

c2-a2

=

4

5

c
∴

b

a

=

4

3

，得该双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x，即4x±3y=0
故答案为：4x±3y=0

点评：本题给出双曲线的焦点三角形是以焦距为一腰的等腰三角形，底边上的高等于实轴，求双曲线的渐近线方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．