Question

已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（Ⅰ） 求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0有三个不同的实数根，求实数的取值m范围．

Answer 1

分析：（1）欲求函数的解析式，只需找到关于a，b，c的三个方程即可，因为函数f（x）在x=±1时取得极值，所以当x=±1时，导数等于0，
则得到关于a，b的方程，即可解出a，b．又由f（-2）=-4，这样就得到关于c的方程，解出c即可，进而可得函数y=f（x）的表达式；
（2）数形结合：关于x的方程f（x）+m=0有三个不同实根，等价于函数y=f（x）和y=-m图象有三个交点，
利用导数求出f（x）的极大值、极小值，则-m介于两者之间；

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得，1，-1是3x²+2ax+b=0的两个根，
解得，a=0，b=-3．
再由f（-2）=-4可得c=-2．
∴f（x）=x³-3x-2．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，则x=-1或x=1

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增	极大值 f（-1）=0	减	极小值 f（1）=-4	增

依题意-4＜-m＜0则所求实数m的取值范围是（0，4）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数在某点取得极值的充要条件为该点处导数为0，且两侧异号；方程根的个数问题往往利用数形结合思想转化为函数的图象交点个数．