题目内容
（2013•杭州一模）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．
分析：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得
=
，得c值，由离心率可得a值，再由b2=a2-c2可得b值；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程
+
=1得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB中点横坐标，代入l2得纵坐标，由中点在直线l1上可求得k值，用点到直线的距离公式求得原点O到AB的距离为d，弦长公式求得|AB|，由三角形面积公式可表示出S△OAB，变形后用不等式即可求得其最大值；
| 3c | ||
|
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为
，得
=
，解得c=1，
又e=
=
，所以a=2，b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为
+
=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程
+
=1得到：
（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
因此x1+x2=
，x1x2=
，
所以AB中点M（
，
），
又M在直线l1上，得3×
+4×
=0，
因为m≠0，所以k=1，故x1+x2=
，x1x2=
，
所以|AB|=
|x1-x2|=
•
=
，
原点O到AB的距离为d=
，
得到S=
≤
×
=
，当且仅当m2=
取到等号，检验△＞0成立．
所以△OAB的面积S的最大值为
．
| 3 |
| 5 |
| 3c | ||
|
| 3 |
| 5 |
又e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
因此x1+x2=
| -8km |
| 4k2+3 |
| 4m2-12 |
| 4k2+3 |
所以AB中点M（
| -4km |
| 4k2+3 |
| 3m |
| 4k2+3 |
又M在直线l1上，得3×
| -4km |
| 4k2+3 |
| 3m |
| 4k2+3 |
因为m≠0，所以k=1，故x1+x2=
| -8m |
| 7 |
| 4m2-12 |
| 7 |
所以|AB|=
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
4
| ||
| 7 |
| 7-m2 |
原点O到AB的距离为d=
| |m| | ||
|
得到S=
2
| ||
| 7 |
| m2(7-m2) |
2
| ||
| 7 |
| m2+(7-m2) |
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
所以△OAB的面积S的最大值为
| 3 |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查弦长公式、点到直线的距离公式及用不等式求函数最值，考查函数思想．
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