Question

已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．

Answer 1

⑴因为，所以不等式即为，

又因为，所以不等式可化为，

所以不等式的解集为．…………………………2分

⑵当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，

所以原方程等价于，令，

因为对于恒成立，

所以在内是单调增函数，……………………………4分[

又，， ，

所以方程有且只有1个实数根， 在区间 ，

所以整数的值为 1．……………………………………………6分

⑶，

①     当时，，在上恒成立，当且仅当时

取等号，故符合要求；………………………………………………………7分

②当时，令，因为，

所以有两个不相等的实数根，，不妨设，

因此有极大值又有极小值．

若，因为，所以在内有极值点，

故在上不单调．………………………………………………………9分

若，可知，

因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，

必须满足即所以.--------------------------11分

综上可知，的取值范围是．………………………………………12分